Admin
Pr. R. EL YAMANI
Module : Probabilités (Travaux dirigés)
.png "Probabilités S2 (Travaux dirigés)")
TD1 : Analyse combinatoire (Dénombrement) -Enoncés-
EXERCICE n°1 :
A l’occasion d’une compétition sportive
groupant 18 athlètes,
on attribue une médaille d’or, une d’argent, une de bronze.
Combien y-a-t-il de distributions possibles (avant la compétition) ?
EXERCICE n°2 :
Un groupe de 24 étudiants, de licence d’études
fondamentales, constitue le bureau d’une
association. Ce bureau est composé d’un
président, d’un secrétaire et d’un
trésorier.
Combien y a-t-il de bureaux possibles
?
EXERCICE n°3 :
Six personnes
choisissent mentalement un nombre
entier compris entre 1 et 6.
1) Combien de résultats
peut-on obtenir ?
2)
Combien de résultats ne comportant
pas deux fois le même nombre peut-on
obtenir ?
EXERCICE n°4 :
Le groupe de 24 étudiants, de licence
d’études fondamentales, doit s’inscrire au concours d’accès
au master, selon une liste de passage.
Combien y a-t-il de manières
pour établir cette liste ?
EXERCICE n°5 :
Combien y-a-t-il d’anagrammes du mot MATH ?
EXERCICE n°6 :
Combien y-a-t-il d’anagrammes du mot TABLEAU
?
EXERCICE n°7 :
Dénombrer toutes les
anagrammes possibles du mot PRISÉE
1)
En tenant compte de l’accent ;
2) En ne tenant pas compte de l’accent sur le « e ».
EXERCICE n°8 :
Un tournoi
sportif compte 8 équipes engagées.
Chaque équipe doit rencontrer toutes les autres
une seule fois.
Combien de matchs
doit-on organiser ?
EXERCICE n°9 :
Combien de nombre
de 4 chiffres peut-on former avec les dix chiffres suivants : 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9.
Dans les suivants :
1)
Les répétions sont autorisées
?
2)
Les répétions sont interdites ?
3)
Les répétitions sont autorisées et le dernier
chiffre doit être égal à zéro ?
EXERCICE n°10 :
On doit ranger dans un magasin
12 réfrigérateurs de marque différentes, dont 4 réfrigérateurs de marque A ; 6 de marque B et 2 de marque C. Combien y a-t-il
de rangement différents si :
1)
Les réfrigérateurs doivent
être rangés par marque ?
2) Seules les réfrigérateurs
de marque A doivent être rangés
ensemble ?
EXERCICE n°11 :
On doit former un comité comprenant 2 hommes et 3 femmes
sur la base d’un groupe
plus large, formé
de 5 hommes et 7 femmes.
Quel est le nombre de possibilité si :
1)
Le comité peut comprendre n’importe
lequel des hommes et des femmes ?
2) Une femme particulière doit faire partie
du comité ?
3)
Deux hommes particuliers doivent
être exclus du comité ?
↚
TD2 : Théorèmes et notions de probabilités
EXERCICE n°1 :
Soit A et B deux événements tels que :
P (A 𝖴 B) =5/7 ; P (A ∩ B) =1/4 et P(A) =3/8
Calculer les probabilités suivantes : P(B) ; P (Ā ∩ B) ; P(A/B) ; P(Ā/B)
P (A 𝖴 B) =5/7 ; P (A ∩ B) =1/4 et P(A) =3/8
Calculer les probabilités suivantes : P(B) ; P (Ā ∩ B) ; P(A/B) ; P(Ā/B)
EXERCICE n°2 :
Dans cet exercice, A et B désignent deux événements de l’univers d’une expérience aléatoire. Dans chaque cas suivant, vérifier si A et B sont indépendants :
1) P(A) = 0,2 ; P(A∩B) = 0,08 et P(A𝖴B) = 0,5
2) P(A) = 0,5 ; P(𝐵̅) = 0,6 et P(A𝖴B) = 0,7
1) P(A) = 0,2 ; P(A∩B) = 0,08 et P(A𝖴B) = 0,5
2) P(A) = 0,5 ; P(𝐵̅) = 0,6 et P(A𝖴B) = 0,7
EXERCICE n°3 :
Soit A ; B et C trois événements, exprimez les événements suivants :
1) A seul se produit.
2) A et B se produisent et non pas C.
3) A et B et C se produisent simultanément.
4) Un est un seul se produit.
5) Deux seulement se produisent.
6) Aucun évènement ne se produit.
1) A seul se produit.
2) A et B se produisent et non pas C.
3) A et B et C se produisent simultanément.
4) Un est un seul se produit.
5) Deux seulement se produisent.
6) Aucun évènement ne se produit.
EXERCICE n°4 :
Dans une école, deux filles sur cinq quittent l’école dans l’année, un garçon sur neuf quitte l’école. Calculer les probabilités suivantes :
1) Une fille et un garçon quittent l’école dans l’année.
2) L’un des deux quitte l’école dans l’année.
3) Aucun des deux ne quitte l’école dans l’année.
4) Un garçon quitte l’école dans l’année.
1) Une fille et un garçon quittent l’école dans l’année.
2) L’un des deux quitte l’école dans l’année.
3) Aucun des deux ne quitte l’école dans l’année.
4) Un garçon quitte l’école dans l’année.
EXERCICE n°5 :
Un vendeur, d’appareils électroménagers, importe des téléviseurs de trois fournisseurs différents A, B et C. Il importe 50% des téléviseurs de fournisseur A, 25% des téléviseurs de fournisseur B et 25% des téléviseurs de fournisseur C. Il a constaté que 7% de téléviseurs ont des défauts de qualité dans les unités importées de fournisseur A, 6% pour le fournisseur B et 4% pour le fournisseur C. On choisit au hasard un téléviseur :
1) Calculer la probabilité qu’il ait un défaut de qualité.
2) Sachant que le téléviseur choisi a un défaut de qualité :
a) Calculer la probabilité pour qu’il soit importé de fournisseur A.
b) Calculer la probabilité pour qu’il soit importé de fournisseur B.
c) Calculer la probabilité pour qu’il soit importé de fournisseur C.
EXERCICE n°6 :
La population d’une grande ville est répartie d’une façon égalitaire entre les hommes et les femmes, la probabilité qu’un homme parle une langue étrangère est de 0,37, alors qu’elle n’est que de 0,29 pour les femmes. On tire au hasard une personne parmi cette population.
1) Calculer la probabilité que la personne tirée parle une langue étrangère.
2) Calculer la probabilité que la personne tirée soit un homme sachant qu’il parle une langue étrangère.
3) Calculer la probabilité que la personne tirée soit une femme sachant qu’elle parle une langue étrangère.
4) Calculer la probabilité que la personne tirée soit une femme sachant qu’elle ne parle pas une langue étrangère.
EXERCICE n°1 :
Un joueur lance un dé à six faces. S’il obtient un nombre pair il gagne l´équivalent en dirhams. Sinon, il perd 1 dirham.
Soit X la variable aléatoire qui correspond au gain du joueur.
1) Donner la loi de probabilité de X.
2) Calculer E(X) et V (X).
EXERCICE n°2 :
Une variable aléatoire X est distribuée selon la loi de probabilité suivante :
𝑿𝒊 1 5 8 12 16 26
𝑷𝒊 a 0,15 0,26 0,30 b 0,06
On donne E(X) = 10,86
1) Calculer a et b.
2) Calculer V (X) et σ(X).
3) Donner la fonction de répartition de X.
4) Sachant que X est comprise entre 5 et 16 (bornes incluses), calculer la probabilité que X dépasse 8.
5) Calculer, en utilisant la fonction de répartition, le nombre x0 tel que : P(X ≤ x0) = 0,204.
EXERCICE n°3 :
Dans une classe il y a 10 garçons et 20 filles on choisit au hasard dans la classe un comité de 4 élèves et on désigne par X la variable aléatoire représentant le nombre de garçons dans le comité.
1) Donner la loi de probabilité de X.
2) Calculer E(X) et V (X).
3) Calculer la probabilité de choisir
a) 2 garçons.
b) Au moins 2 garçons.
EXERCICE n°4 :
On jette 2 dés à six faces, Soit X la variable aléatoire qui prend :
La différence si les chiffres amenés sont paires.
La somme si les chiffres amenés sont impairs.
Le produit si un dé amène un chiffre paire et l’autre un chiffre impair.
1) Donner la loi de probabilité de X.
2) Calculer E(X) et V (X).
EXERCICE n°5 :
Un jeu consiste à jeter un dé, on gagne 30 dirhams si le dé amène un 2, on gagne 20 dirhams si le dé amène un 4, on perd 10 dirhams si le dé amène un 5 ou 15 dirhams si le dé amène un 6 et il n’y a ni perte ni gagne pour les autres cas.
Soit X la variable aléatoire qui représente le gain.
1) Donner la loi de probabilité de X.
2) Calculer E(X) et V (X).
EXERCICE n°6 :
Une firme multinationale fabrique des pièces. Le service commercial estime que la demande (en 1000 d’unités) est une variable aléatoire continue X dont la fonction de densité de probabilité la suivante :
F(x) = kx si 0 ≤ x < 5
F(x) = 10k -kx si 5 ≤ x < 10
F(x) = 0 sinon
1) Déterminer k.
2) Calculer E(X) et V (X).
3) Donner la fonction de répartition de X.
4) Si la firme dispose d’un stock de 3000 pièces. Quelle est la probabilité qu’il ait rupture de stock.
↚
TD 4 : Les variables aléatoires à deux dimensions
↚
TD 5 : Les lois de probabilités d’une VA discrète
EXERCICE n°1 :
Un constructeur de composants produit des résistances.
La probabilité qu’une résistance soit défectueuse est égale 0,04. Dans un lot de 25 résistances, quelle est la probabilité d’avoir :
1) Exactement deux résistances défectueuses.
2) Au plus deux résistances défectueuses.
3) Moins de deux résistances défectueuses.
EXERCICE n°2 :
Un pépiniériste conditionne des bulbes de fleurs. On conviendra qu’un bulbe germe s’il donne naissance à une plante qui fleurit. On considère que le pépiniériste dispose d’un très grand nombre de bulbes et que la probabilité qu’un bulbe germe est de 0,3. Il prélève au hasard 15 bulbes de ce stock.
On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de bulbes qui germent.
1) Quelle est la loi de X.
2) Quelle est la probabilité qu’exactement 3 bulbes choisis germent.
3) Quelle est la probabilité qu’au plus 13 bulbes germent.
EXERCICE n°3 :
La variable aléatoire X désigne le nombre de clients qui se présentent au GAB d’une banque par intervalle de temps d’une durée de 10 minutes, entre 14h30 et 16h30. La variable X suit la loi de Poisson de paramètre 5.
1) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
2) Calculer la probabilité que, sur une période de 10 minutes choisie au hasard entre 14h30 et 16h30, un jour d’ouverture du guichet, il y ait au plus 3 personnes à se présenter à ce guichet.
EXERCICE n°4 :
Dans un grand magasin, la variable aléatoire X représente le nombre de magnétoscopes vendus au cours d’une journée quelconque, suit la loi de Poisson de paramètre 4.
Les ventes, pendant deux journées, sont supposées indépendantes.
1) On choisit une journée au hasard, calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
a) ”La vente de la journée est au plus égale à 2.”
b) ”La vente de la journée est au plus égale à 2 mais moins de 5.”
2) ”On choisit deux jours consécutifs au hasard, calculer la probabilité que la somme des ventes de deux jours consécutifs soit égale à 2.
EXERCICE n°5 :
Un lapin met au monde une portée de 9 lapereaux dont 4 lapereaux noirs ; 2 blancs et 3 tachetés. 6 lapereaux s’échappent (on suppose que chaque lapereau a la même envie et la même possibilité de prendre la clef des champs). Soit X la variable aléatoire qui, à chaque groupe de 6 lapereaux échappés, associe le nombre de lapereaux blancs qui en font partie.
1) Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ?
2) Calculer la probabilité qu’au moins deux lapereaux blancs s’échappent.
3) Calculer l’espérance mathématique et la variance de cette variable (on suppose que le tirage est avec remise).
↚
TD 6 : Les lois de probabilités d’une VA continue
EXERCICE n°1 :
La limite de sécurité de l’ascenseur d’un immeuble est fixée par les normes de fabrication à 300 kg.
On suppose que le poids d’une personne est une variable aléatoire de moyenne 70 kg et d’écart type 9 kg. Les poids de différentes personnes sont indépendants.
1) Quatre personnes de l’immeuble se présentent devant l’ascenseur. Quelle est la probabilité qu’elles puissent monter ensemble au cours du même voyage ?
2) Quelle est la probabilité que deux personnes se présentant ensemble devant l’ascenseur aient une différence de poids supérieur à 20 kg ?
EXERCICE n°2 :
L’éclairage d’une petite ville est assuré par 1500 lampes. Selon une étude faite par la commune de la ville la durée de vie moyenne des lampes est 500 heures par an avec un écart type de 100 heures.
Sachant que la durée de vie des lampes est distribuée selon une loi normale. Déterminer :
1) Le nombre de lampes hors usage au bout de 700 heures.
2) Le nombre de lampes à remplacer entre la 400 ième et 600 ième heures.
3) Le nombre d’heures qui se seront écoulées pour que 69,14% des lampes soient hors d’usage.
4) Le nombre d’heures qui se seront écoulées pour que 2,28% des lampes soient hors d’usage.
EXERCICE n°3 :
Dans la ville de Casablanca à 18h00, à la station de TRAM « Arrêt des facultés » arrive le TRAM. On note :
Z : le nombre de voyageurs arrivant par ce TRAM : Z→N (100,5)
X : le nombre de voyageurs qui montent dans ce TRAM : X→N (40,3) Y : le nombre de voyageurs qui descendent de ce TRAM : Y→N (30,4) N : le nombre de voyageurs qui repartent avec ce TRAM.
1) Quelle est la loi de probabilité de N ?
2) Déterminer k tel que P(0< 𝑁 < 𝑘 )= 0,99
3) Calculer P(N≤ 90).
EXERCICE n°4 :
Dans une classe, la note obtenue par des étudiants à un examen de statistique est une variable aléatoire normale de paramètres m= 12 et 𝜎 = 3.
1) Donner le pourcentage des étudiants ayant plus de 10 en statistique.
2) Donner la note en dessous de laquelle se trouvent 84,13% des étudiants.
3) Compte tenu de ces résultats le service pédagogique de l’école affirme que ; après revalorisation ; les notes obtenues par les étudiants est une transformation linéaire :
Y= 0,55X + 8. Donner les valeurs de : E(Y) et V(Y).
EXERCICE n°5 :
La demande d’un produit suit une loi normale. Elle a une probabilité de 0,15 d’être inférieur à 4000 unités et une probabilité de 0,0228 d’être supérieur à 5500.
1) Déterminer les paramètres de cette loi.
2) Le gain unitaire est de 15dh, les charges fixes mensuelles sont de 82203 dh. Calculer la probabilité pour que l’entreprise réalise un bénéfice mensuel.
↚
TD 7 : Approximation des lois de probabilités
EXERCICE n°1 :
3% des bouteilles d’eau livrées par une usine sont défectueuses. On appelle X la variable aléatoire qui, à tout lot de 100 bouteilles prises au hasard, associe le nombre de bouteilles défectueuses.
1) Donner la loi de probabilité de X. par quelle loi peut-on l’approximer ?
2) Trouver la probabilité que Sur un lot de 100 bouteilles choisies au hasard :
a) ”il n’y a aucune bouteille défectueuse.”.
b) ”il y a 2 bouteilles défectueuses.”
c) ”il y a 3 bouteilles défectueuses.”
d) ”il y a moins de 4 bouteilles défectueuses.”
EXERCICE n°2 :
Une entreprise fabrique du matériel informatique, veut réaliser des tests, pour savoir les composants défectueux qui peuvent être réutilisés. Pour ce faire, elle effectue des tests heure par heure sur 50 composants, elle a constaté que 15 peuvent être réutilisés.
On note Yʺ la variable aléatoire représentant le nombre de Composantsʺ
1) Déterminer la loi de Y.
2) Par quelle loi peut-on l’approximer ?
3) Calculer la probabilité suivante : P(Y≤ 18)
EXERCICE n°3 :
Dans un grand magasin, la variable aléatoire X représentant le nombre de magnétoscopes vendus au cours d’une journée quelconque, suit la loi de Poisson de paramètre 20. Les ventes pendant deux journées sont supposées indépendantes.
1) Donner la loi de probabilité de X
2) Par quelle loi de probabilité peut-on l’approximer ?
3) On choisit une journée au hasard, calculé la probabilité de chacun des événements suivants :
a) ”La vente de la journée soit moins de 25.”
b) ”La vente de la journée soit plus de 15.”
C) ”La vente de la journée comprise entre 15 et 25.”
